3. Lösung mit Hilfe des Newton-Verfahrens
Einzugeben sind der Term einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion f mit dem Term f(x), der Term ihrer Ableitung f '(x), sowie ein Startwert x. Dann bestimmt man im Punkt (x; f(x)) die Tangente an den Graphen von f. Diese schneidet die x-Achse an einer Stelle, die eine (i.a. bessere) Näherung für die gesuchte Nullstelle ist. Diesen Näherungswert berechnet man folgendermaßen:
Der so berechnete Wert wird wiederum als Startwert für eine
neue Berechnung hergenommen und so fort.
Die Iteration endet, wenn sich zwei aufeinanderfolgende Werte um weniger als
eine vorgegebene Genauigkeitsschranke unterscheiden.
Grafisch-zeitlich und damit unmittelbar anschaulich sieht das Newton-Verfahren folgendermaßen aus:
Blau: Suchen des Funktionswerts zum vorgegebenen Näherungswert.
Rot: Konstruktion der Tangente; ihr Schnittpunkt mit der x-Achse ergibt die neue
(i.a. bessere) Näherung