4. Lösung mit Hilfe des Fixpunktverfahrens
Häufig kann die Gleichung g(x) = 0
in die Form x = f(x) umgewandelt werden.
Dann kann man - ausgehend von einem Startwert x0 - den neuen Wert
berechnen und nach Ersetzen des Startwerts durch den neuen Wert x die
Iteration wiederholen.
Eine Aussage über die Konvergenz des Verfahrens macht der BANACHsche
Fixpunktsatz (siehe Literatur).
Besonders interessant ist die sog. logistische Gleichung von VERHULST (1845 formuliert):
Die
blaue Linie geht vom Startwert zum Funktionswert y = f(x).
Das Vertauschen von y und x realisiert die rote Linie, die bis zur
Geraden mit der Gleichung y = x reicht, und so fort.
Variiert
man den Parameter k, so kann man unterschiedliches Konvergenzverhalten
beobachten:
Beispiele: Für k = 1.99 erhält man genau einen Grenzwert, für k = 2.4 dagegen zwei "Grenzwerte" - man spricht dann von "Attraktoren". Für k = 2.5 ergeben sich gar vier Attraktoren.
Nötigenfalls ist die Anzahl der Iterationen zu erhöhen, z.B. auf 20.