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Wichtige Verfahren zur iterativen Bestimmung von Nullstellen reeller Funktionen in der 11. Jgst.

4. Lösung mit Hilfe des Fixpunktverfahrens

Häufig kann die Gleichung g(x) = 0 in die Form x = f(x) umgewandelt werden.
Dann kann man - ausgehend von einem Startwert x0 - den neuen Wert

berechnen und nach Ersetzen des Startwerts durch den neuen Wert x die Iteration wiederholen.
Eine Aussage über die Konvergenz des Verfahrens macht der BANACHsche Fixpunktsatz (siehe Literatur).

Besonders interessant ist die sog. logistische Gleichung von VERHULST (1845 formuliert):

Die blaue Linie geht vom Startwert zum Funktionswert y = f(x). Das Vertauschen von y und x realisiert die rote Linie, die bis zur Geraden mit der Gleichung y = x reicht, und so fort.
Variiert man den Parameter k, so kann man unterschiedliches Konvergenzverhalten beobachten:


Beispiele: Für k = 1.99 erhält man genau einen Grenzwert, für k = 2.4 dagegen zwei "Grenzwerte" - man spricht dann von "Attraktoren". Für k = 2.5 ergeben sich gar vier Attraktoren.
Nötigenfalls ist die Anzahl der Iterationen zu erhöhen, z.B. auf 20.
© 2005 Hermann Mendel    hermann.mendel@t-online.de